ILO以外の国際機関の事情は知りませんが、コネというのは大きく２つあると思います。１つ目は、空席公募へ応募した際に、知っている人だと採用しやすいこと。２つ目は、コンサルタント業務を発注する際に金額次第では公募する必要がなく、三者見積もり等で調達可能であること。私の感覚ではコネの大切さは、２つ目にあると思います。１つ目の空席公募の場合、書類選考を人事担当が行い、筆記試験と面接試験を担当部門が行うことが多いはずです。筆記試験は候補者名を伏せた形での採点となり、面接で不合格にする場合にも相応の理由を明記しなければならないと思います。そのため、恣意的にコネだけで合格できる仕組みは空席公募の場合は少ないのではないかと思います。
広報関連の部署には確かに、ジャーナリスト出身の方もかなりいる印象です。公募すると似たような経歴（ハイレベル）の人が応募してくるので、当該機関での勤務経験など相応の経歴がない場合は目を引かないのではないでしょうか。いずれにせよ、公募は想像を超える倍率なので、宝くじのようなものです。
その他のご質問に直接の答えはあいにく持ち合わせておりません。一つ助言できることがあるとすれば、実際に応募してみてはいかがでしょうか。各機関の人事ページを毎日見て、ダメもとで応募をすること数十回。それを経て、自身の経歴の価値が見えてくるのだと思います。