ご投稿ありがとうございます。まず、JPOを通じて国際機関へ就職するのであれば、外務省が書類選考をすることとなります。これまでの経歴と大学院での専攻との関連はもちろんみられると思います。しかし、私の個人的な印象では、国際機関へ直接応募する際の専攻基準と外務省の選考基準は異なると思います。前者は即戦力を求め、外務省のJPO選考は「この人が2年後に国際機関でポストを獲得できるか」という視点です。つまり、外務省の書類選考時にはポテンシャル採用が選考基準だと思いますので、英語・仏語等を使った職場での業務経験や専門性の高い分野での関連業務経験があれば採用しやすいのだと思います。
大学院については可能であれば英語・仏語圏の大学院に在籍することをお勧めします。ただ、最近はオンラインコースも充実しているので選択肢は確かに広いと思います。私は英語に自信がなかったこともあり、本当に苦労して最低の成績で英国の大学院を卒業しました。それでも英語でのディスカッションやライティングをやりぬいたという自信は、その後のキャリアへの布石となりました。
直接の回答になりませんが、大学院で学位を取得するということはキャリアチェンジにも大いに役立つと思います。国際機関ではポスト募集分野での業務経験年数をシビアに数えられるので、キャリアチェンジは出世の出遅れとなることは確かです。これは個人の判断ですので、私からコメントすることは難しいのですが、やりたいことと向き合って考えるのが良いと思います。