私も語学力はネックでした。私の場合、問題集を解いたりTOEICやIELTSの試験対策をすることで伸びるタイプではありませんでした。幸運なことに学部時代に八か月間、ニュージーランドへ語学留学する機会を得たことが大きな変化となりました。辛抱強くReadingと問題集を解く勉強では伸びなかったのが、会話主体の学び方に変えたことで、劇的に英語力が伸びました。多くの日本人がInput型（詰め込み）が得意なのに対し、私はOutput型（発信）のスタイルがあっていたようです。勉強していて伸びないと感じるのであれば、InputからOutput型の勉強法へ変えてみるのも良いかもしれません。
語学留学の結果、TOEIC440点だったのがIELTS 6.0まで伸びました。大学院へは6.0で出願しましたが、入学条件は7.0。大学付属の語学学校（Pre-sessional course）を3か月受講することを条件に合格（Conditional Offer）を頂きました。3か月というのは、条件付き合格の中でも最も語学レベルの低い人が行くコースです。結局、無事入学（ほとんどの人が無事入学になります）したわけですが、英語には最後まで苦労しました。最初の学期はほとんど授業はわからず。卒業論文も結局、クラス最下位の点数でギリギリ卒業できたといった感じでした。
ただ、英語力の話だけすれば、卒業時にはIELTS 7.0-7.5となっていました。英語の勉強を特段したわけではありませんが、修士課程に在学し、死に物狂いで一年やり切ったことで英語の点数は伸びたようです。取りあえずギリギリでも入学してしまうのが、英語上達の一番の近道というのが私の教訓でした。
なかなか自習で英語を勉強するのは大変だと思いますが、ご検討お祈りします。何かあれば連絡お待ちしていますね。