ご投稿ありがとうございます。災害・人道支援が専門ではないので、私の知る限りでの回答となってしまいますがご容赦ください。
たしかにJICA職員や国連関連機関で国際協力に携わる場合、「大学院の修士号以上があるか、それに相当する経験が必要」というのが募集要項に出てきます。実際にはそれだけを基準として足切りすることはないと思いますが、似たような経歴の応募者がいる場合は大学院卒を採用するため、「院卒以上」と一般的に言われているのだと思います。
一方で、消防職員としての経歴をいかすことを第一に考えるのであれば、JICA職員や国連職員以外にも道はあると思います。たとえば、外国での災害時に日本政府が派遣する国際緊急援助隊の救助チーム（http://www.mofa.go.jp/mofaj/gaiko/jindo/jindoushien2_3_1.html）は、消防隊員も加わります。おそらく事前登録制で緊急招集が掛かるのだとおもいますが、チーム編成がどのように行われているのか知りません。最初のステップとして、救助チームへ参加する手続きを調べてみてはいかがでしょうか。現職のまま国際協力に携わることができる方法の一つだと思います。
また、JICAが派遣しているシニア海外ボランティアという制度もあります。防災・災害対策分野では、今秋の募集だけで3つ公募が出ています。救助をするというような業務ではなく、途上国の政府・自治体に入って防災戦略を作っていく業務のようです。
⇒ http://jocv-info.jica.go.jp/sv/index.php?m=List&jID=A204&n=y&period=2016%7C%E7%A7%8B
公務員の場合、JICAが所属先への補てんも行う現職参加制度が充実しています。在籍しながら所属先に迷惑が掛からない制度なので、検討されてみても良いかもしれません。
⇒ https://www.jica.go.jp/volunteer/relevant/localgovernment/incumbent/system/
もし、国際機関の災害・人道支援にご関心があれば、求人情報はこちらのサイトにまとめられています。
⇒ http://reliefweb.int/jobs
これまでのご経験を生かすという意味でも、現職で一度国際協力に飛び込んでみて、自分にあうかどうかの判断をするのも良いかと思いました。